공학수학 또는 선형대수를 배울 때 고유값과, 고유벡터에 대해서 자주 배웠었다.
그 개념을 정확히 이해하기 보다는 그냥 수업을 충실하게 듣고 그에 맞는 해답을 내놓았다.
왜 이 개념이 필요한지? 공학에서 왜 중요한지? 모르는 상태에서 벼락치기를 했기 때문에 금방 내용을 까먹었고, 언젠가 다시 공부해야지 느끼고는 있었지만, 당장 필요한 지식이 아니니,,, 차일피일 미루던 개념이다.
이제 인공지능 전공이며, 현재 데이터 사이언스 수업을 들으면서 자연스럽게 접한 개념.
이번에는 꼭 이걸 정복하고 다시는 잊지 않겠다!.
우선 각 단어의 정의를 먼저 살펴봅시다!
고유벡터(Eigenvector)
함수를 통해 선형 변환할 때 크기만 변하고 방향은 변하지 않는 벡터
<내 맘대로 설명>
가장 이해가 쉽게 되었던 예시는 지구의 자전이다.
지구가 자전한다고 했을 때, 한국과 미국은 3시간 후 변환된 정도가 다르다.
자전할 때 위치가 안변하는건 오로지 자전축이다.
그 자전축을 v 즉 고유벡터라고 한다.
고유값(Eigenvalue)
Av = λv (v=Eigenvector)를 만족하는 λ
<내 맘대로 설명>
자 이것만 보면 이해가 되지 않을 것이다.
나도 공학수학 시험 볼 때 이 개념을 이해하기보다는 그대로 받아들이고, 고유벡터와 고유값을 구하곤 했다.
어떠한 A라는 행렬이 있다고 치자.
행렬은 다른 행렬과 계산을 통해 다른 행렬을 선형 변환한다고 표현할 수 있다.
예를 들어서
A 행렬이 있다고 하자.
그럼 A 행렬은 어떠한 x 벡터를 2배로 만들어주는 행렬이다.
다른 표현으로는 A행렬은 어떤 벡터 x든 2배로 만들어준다.
이런식으로 어떤 행렬 A가 다른 벡터들을 선형 변환할 때, 선형 변환 했음에도 방향이 바뀌지 않은 벡터(크기 무관)가 있나요? 라고 했을 때 그 벡터는 고유벡터가 되고, 원래 A로 돌아오기 위해서 앞에 곱해주는 상수를 고유값이라고 한다.
즉, 자전으로 생각해보자면
지구 위에 사람이 서있는데, t1시점의 위치에서 t2시점이 되었을 때 사람 위치가 어떻게 변환되는지 표현한 B라는 행렬이 있다고 해보자.
B라는 행렬에 t1시점에서 지구 중심으로부터 절대위치까지의 벡터를 넣으면, t2시점에 벡터가 나온다.
t1시점에 다양한 나라 사람의 위치를 넣을 수 있다.
한국, 일본, 미국..... 모두 t2에는 벡터가 달라진다.
그렇다고 했을 때 북극점에 서있는 사람은 해당 행렬에 의해서 선형 변환이 되어도 벡터가 변하지 않는다.
그 북극점에 서있는 사람의 벡터가 고유벡터가 된다.
근데 선형변환이라는게 단순히 벡터의 방향만 바꿔주는 것이 아니고, 크기도 바꿔준다.
그냥 변하지 않는 방향, 즉 벡터의 방향을 단위벡터로 나타낸 것을 고유벡터, 그리고 선형 변환 후 크기가 얼마나 변했는지 (고유벡터의 방향은 안변했을테니,.....) 나타내주는 것이 고유값 λ인 것이다!
추가
* A행렬은 정방 행렬이여야한다.
* 정방행렬이라고 모두 고유값, 고유 벡터가 존재하는 것은 아니다.
* 그렇다면, 북극점, 남극점의 두가지 벡터 모두 고유벡터 아닌가요?라는 질문에는 고유벡터는 1로 정규화한 단위벡터를 고유벡터로 잡는 것이 일반적이다.